【中1数学】反比例の重要ポイントと解くコツをわかりやすく解説

更新日 2024.01.16
【中1数学】反比例の重要ポイントと解くコツをわかりやすく解説

反比例は「なんとなくわからない」とよく言われる単元です。授業中も先生の解説を聞き、表やグラフを書くので精いっぱい、とても理解まで追いつけなかった人も多いのではないでしょうか。

また比例に比べて授業時間が短く、その後も登場する気配がないため、反比例は関数分野のなかでも軽視されがちです。

ところが反比例は関数全体にかかわる「考え方」の理解に重要な役割を果たします。反比例がわからなかったために、中2や中3で苦労する中学生も少なくないのです。

この記事では中1で習う反比例を、「そもそも反比例とは?」という基本から丁寧に解説します。典型的な問題を使いながら、解き方・考え方もまとめました。

反比例をマスターし、中学関数分野を得意にする足がかりをつかむヒントにしてください。

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(1) <復習>小学校で学んだ比例・反比例

小学校の算数では、「2つの量の変わり方」の単元で比例について小学5年生で学び、比例・反比例としては小学校6年生で学習しました。

ともなって変わる2つの数x、yについて、xが2倍、3倍…になると、yも同じように2倍、3倍になるのが「比例」です。

小学校の正比例の復習

上の表はxが2倍、3倍…になるにしたがってyも2倍、3倍…となっています。そのため「比例の関係にある」といえ、式はy=6xで表されます。

一方が増えると、もう一方も一定の割合で増えていくのが「比例」ですね。では反比例はどのように勉強したでしょうか?

反比例は片方が2倍、3倍…となると、もう一方は1/2倍、1/3倍…となります。表にすると、次のようになります。

小学校の反比例の復習

表ではxが2倍、3倍…と増えていますが、yは1/2、1/3…と減少しています。このように片方が増えると、一定の割合でもう一方が減る関係にある関数を「反比例」といいます。

上の表の反比例は、y=60/xと表されます。

反比例の式やグラフについては、次の章で詳しく学習します。ここでは「2つの数について、一方が2倍、3倍…となると、もう一方が1/2倍、1/3倍…と変わる関係を反比例という」を押さえておきましょう。

【POINT】
反比例は、実際に使われる場面を考えるとよく理解できます。一方が増えると、他方が減る関係にある事象は、どのようなものがありますか?
 
「50個のチョコレートを、何人かで均等に分ける」シーンをイメージしてみましょう。チョコレートの数は100個と決まっています。分ける人数が5人なら1人あたり20個、10人なら1人あたり10個…となりますね。
 
つまりチョコレートを分ける人数(x)が2倍になると、もらえる数は1/2に減ります。これが反比例です。「1人あたりのチョコレートの数は、人数に反比例する」といいます。
 
反比例は私たちの生活のさまざまな場面に登場します。いろいろと探してみてください。

(2) 中学校で学ぶ反比例とは

中学校で学ぶ反比例も、基本の考え方は小学校と同様です。

ただし中学生らしく「負の数」が登場する点を押さえておきましょう。

「y=-12//x」「y=-5/x」といった式も扱います。表やグラフをつくる際も、負の数の存在を忘れないことが大切です。

反比例の基本を理解しよう

反比例は式とグラフの理解が最重要
反比例は式とグラフの理解が最重要

いよいよ、中学の反比例を具体的に学習していきます。中学の反比例で確実に押さえておきたいのは、反比例の式の計算とグラフの書き方です。

1つずつ、丁寧に考えていきましょう。

(1) 反比例の式

反比例の式は、次のように表わします。

【POINT】反比例の式
y=a/x
※ aは「比例定数」

比例定数とは、xとyの関係を表す定数(決まった値)です。比例でも登場しましたね。

y=3xという比例の式では3が比例定数です。yは常にxの3倍の値をとることを意味します。

たとえば、次のような表について考えてみましょう。

x1234612
y1264321

xが増えるにしたがってyは減少しており、これは反比例です。

式は
  y=12/x
です。

ちなみにこの反比例の式は、変形すると
  xy=12
となりますね。

実際に問題を解く場面では、xy=aとしたほうが考えやすいケースも多々あります。どちらでも使いこなせるようにしておきましょう。

(2) 反比例のグラフ

反比例のグラフをかく問題は、定期テストでもよく出されます。値を確実にとり、正しく書けるよう練習しましょう。

反比例のグラフは、次のような形になります。

反比例のグラフ
【POINT】反比例のグラフのポイント3つ
1.比例定数a>0のときは座標面の右上(第1象限)と左下(第3象限)に、a<0のときは座標面の左上(第2象限)と右下(第4象限)に配置します。
 
2.反比例のグラフは双曲線状になります。
 
3.x軸、y軸付近は限りなくx、y軸に近づくようにかきます(漸近線)。

双曲線とは、2つの定点からの距離の差が一定であるような点をつなげた線です。また漸近線とは限りなく近づくものの、決して交わったり接したりしない線のことです。

例題を使って、実際に反比例のグラフをかいてみましょう。

<例題>
y=12/xのグラフをかきなさい。

グラフをかく手順は、次のとおりです。

【POINT】反比例のグラフをかく手順
1.反比例を表す式が成り立つようなx、yの組み合わせをつくる。
2.取った値をグラフ上にプロットする。
3.点をなめらかな曲線でつなぐ。

順に進めていきましょう。

まず「1. 反比例を表す式が成り立つようなx、yの組み合わせをつくる」ためには、式を表にすると簡単です。

y=12/xのグラフを表にすると、次のようになります。

x-12-6-4-3-2-11234612
y-1-2-3-4-6-121264321

表はx、yがともに整数になる組み合わせだけを考えればOKです。整数でない値も存在してはいますが、グラフにプロットできないためです。

x、yの組み合わせが見つかったら、座標平面状にプロットしていきましょう。

反比例のグラフを描く練習

点が取れたら、なめらかな曲線でつなぎます。

反比例のグラフを描く練習(完成)

これで反比例のグラフがかけました。

(3) 変域

「変域」とは値が変化する範囲のことです。関数のグラフは基本的にどこまでも続いていきますが、変化する範囲を定めたいときに変域を利用します。

例題を使って変域の考え方を解説します。

<例題>
反比例 y=24/x において、xの変域が2≦x≦6のときの、yの変域を求めよ。

まず、ざっくりとグラフの形をとります。y=24/xは、a>0なのでグラフは第1象限・第3象限に置かれます。

変域の考え方1

この形になることを押さえましょう。

xの変域は2≦x≦6なので、対応するyの値は第1象限にあるとわかります。第1象限にあるyの値は、xが最小のとき最大となり、xが最大のとき最小となります。

以上を踏まえて、xの変域2≦x≦6に対応するyの値を求めます。

y=24/xにおいてx=2のとき、
  y=24/2
  y=12

x=6のとき、
  y=24/6
  y=4

つまりyの変域は、4≦y≦12となります。グラフに表すと、次の範囲です。

変域の考え方2
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反比例の基本問題をマスターしよう

数値の関係から反比例かどうか判断できる力をつけよう
数値の関係から反比例かどうか判断できる力をつけよう

ここからは、反比例の基本的な典型問題を2種類解説します。反比例は比例に比べて見慣れないため、数値の関係をよく見て「反比例かどうか」判断できることが大切です。

(1) 反比例を判断する問題

テストでもよく出題される、反比例を判断する問題を解いてみましょう。

<例題>
次の2つについてyをxの式で表し、反比例といえるか答えなさい。

1. x円の商品を買い、1000円札を出したときのお釣りy円。
2. 100km離れた場所まで時速xkmで進むときにかかる時間y時間。

<考え方>

「yをxの式で表し」との指示に従い、まずyをxの式で表してみましょう。式がy=a/xのかたちになっていれば反比例です。

1. お釣りは、1000円札から買った商品代金を引いた残りです。

従ってお釣りy円は、次のように表わせます。

  y=1000-x

これはy=a/xではないため、反比例ではありません。

【POINT】
y=1000-xは、中2で習う関数「1次関数」に該当します。

1次関数はy=ax+bという形です。y=1000-xを変形すると、y=-x+1000となり、まさに1次関数と同じですね。
 
1次関数は高校入試でもかならずといっていいほど出題される、中学数学最重要単元の1つです。いま学んでいる反比例で、1次関数の土台となる「関数の考え方」をしっかり身につけましょう。

2. 道のりと速さを表す問題です。

   速さ×時間=道のり

この公式を思い出しましょう。

問題文から、以下の情報が分かっています。

  速さ                     時速xkm
  時間                     y時間
  道のり                  100km

この3つを式に表すと、

  x×y=100

y=の形に変形して、

  y=100/x

これはy=a/xのかたちになっていますね。
よって、反比例といえます。

(2) 反比例の式を求める問題

反比例の式を求める問題も練習しましょう。同じように例題を使って、考え方を解説します。

<例題>
yはxに反比例し、x=5のときy=8である。このとき、yをxの式で表しなさい。

<考え方>

「yはxに反比例し」とあるため、求める式の形は

  y=a/x

です。

これを念頭に置き、与えられている値を代入しましょう。

x=5、y=8を代入すると、
  8=a/5
  a=40

比例定数a=40と分かりましたね。
反比例の式に代入して答えを出します。

答え  y=40/x

【POINT】
反比例の式y=a/xのaを求めたいときは、式を変形して a=xyの形にしてからx、yを代入してもOKです。
 
上の計算では、x=5、y=8を掛け合わせるだけでaを出せます。いちいち分数を使わなくて済むため、計算ミスも防げます。
 
「かけ算の方が考えやすい」という人は、こちらの方法も使ってみてください。

反比例の応用問題

問題文をよく読み、何をx、yと置くか丁寧に考えよう
問題文をよく読み、何をx、yと置くか丁寧に考えよう

いよいよ、反比例の学習も最終段階です。応用問題、つまり文章問題にチャレンジしましょう。反比例は該当する事象の数が多くはないため、比例ほど文章問題のバリエーションがありません。

反比例の文章問題のうち、典型的な3つのパターンを解説します。

(1) 水槽に水を入れる

水槽に水を入れる問題は、関数分野ではよく登場します。反比例になる問題を見てみましょう。

<例題>
毎分5リットルずつ水を入れると、30分でいっぱいになる水槽がある。毎分xリットルずつ水を入れるとき、いっぱいになるまでy分かかるとして、次の問いに応えなさい。  

1. yをxの式で表しなさい。
2. 毎分10リットルずつ水を入れると、水槽がいっぱいになるまで何分かかるか求めなさい。
3. 6分でこの水槽をいっぱいにするには、毎分何リットルずつ水を入れればよいか求めなさい。

<考え方>

文章題では、はじめに与えられた状況(情報)を整理するのが鉄則です。

今回、数値が明確にわかっている情報は「水槽に毎分5リットルずつ水を入れると、15分でいっぱいになる」です。

ではこの水槽には、結局何リットルの水が入るのでしょうか?

  満タンの量=毎分5リットル×30分

つまり、水槽は150リットルだということもわかりますね。

以上の情報を使って、問題を解いていきましょう。

1. yをxの式で表すためには、以下の情報を使います。

  水槽全体の水量                  150リットル
  1分間に入れる水量           xリットル
  満タンまでの時間              y分

つまり、

  xy=150
  y=150/x

これでyをxの式で表せました。確かに反比例の形をしています。

2. 以降は、1.で作ったy=150/xを使って解いていきます。

【POINT】
文章問題で小問がいくつかある場合、最初の小問で出た式や値を次の小問で使うケースがよくあります。2問目以降の小問を解く際は、1問目の式・値が利用できないか考えてみましょう。

2.の問題は「毎分10リットルずつ水を入れると、水槽がいっぱいになるまで何分かかるか」ですね。

y=150/xの式において、yが表すのは「水槽が満タンになるまでの時間」です。xは「1分間に入れる水量」を示します。今回は毎分10リットルずつ水を入れるため、x=10ですね。

代入してみましょう。

  y=150/x
  y=150/10
  y=15

したがって15分で満タンになるとわかりました。

3.の問題は「10分でこの水槽をいっぱいにするには、毎分何リットルずつ水を入れればよいか」ですね。2と同様に考えれば解けますよ。

y=150/xの式において、yが表すのは「水槽が満タンになるまでの時間」です。今回はこれが6分とわかっています。xは「1分間に入れる水量」で、こちらが今回は求める数値になります。

代入してみましょう。

  y=150/x
  6=150/x
  x=25

したがって毎分25リットルずつ入れればよいとわかりました。

(2) 速さと時間

比例につづき、反比例でも道のりや速さを題材にした問題が登場します。例題を見てみましょう。

<例題>
太郎くんの家から学校までの道のりは1200mあります。分速xmで学校に行くときにかかる時間をy分とします。次の問に答えなさい。

1. yをxの式に表しなさい。
2. 学校に10分で着くためには、どのくらいの速さで学校に行けばよいか答えなさい。

<考え方>

1. 道のりや速さの問題では、まず次の公式を余白にメモしましょう。

  道のり=速さ×時間

今回、問題からわかっている情報は次のとおりです。

  道のり                  1200m
  速さ                     分速xm
  時間                     y分  

この3つを、公式に当てはめます。

  道のり=速さ×時間

ですから、

  1200=x×y

問題文では「yをxの式で表す」と指示があります。式を変形して、

  y=1200/x

これで答えがでました。

2. 「学校に10分で着くためには、どのくらいの速さで学校に行けばよいか」は、1.で出た式を使います。

今回、求めたいのは「速さ 分速xm」の部分です。かかる時間 y分は10分と分かっています。y=1200/xに、y=10を代入すると、

  10=1200/x
  x=120

つまり分速120mで学校に行けばよいということがわかりました。

【POINT】
ちなみに、人が歩いた場合の速さは「分速80m」ほどだそうです。分速120mは徒歩だときつく感じるかもしれません。太郎くんには、自転車を使うよう勧めたいですね。

(3) 仕事の量

仕事の量に関する問題も見てみましょう。

<例題>
2人で進めると98日かかる仕事がある。急ピッチで進めたい状況になり、7日で完了させる必要が出てきた。何人で取り掛かれば終わるか、求めなさい。

まず「2人で進めると98日かかる」という情報から、必要な人手の延べ人数を求めます。

   2人×98日=196

つまり、この仕事は延べ196人が必要だとわかりました。式にしてみましょう。

最終的に求めたいのは「人数」のため、人数をyとします。必要な日数をxと置きましょう。

先ほど出した仕事の総量より、

  x(日)×y(人)=196
  y=196/x

問題文より「仕事を7日で終わらせたい」のですから、x=7を代入して、

  y=196/7
  y=28

答え  28人

【POINT】
仕事量の問題は1人あたりの仕事量が同じならば、以下が成り立ちます。
・人数が2倍になれば、かかる日数は半分になる
・かける日数が2倍にばれば、必要な人手は半分になる
 
つまり仕事の総量は一定であるため、人数と日数のどちらかが増えれば、他方は減るということです。これはまさに反比例の良い例です。
 
ちなみにこの時に考えている「人数」は延べ人数であることに注意しましょう。1人が2日働いた場合は「2人」と考えます。
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反比例を得意にする勉強法

反比例は比例とセットで学習するのが効率良し
反比例は比例とセットで学習するのが効率良し

反比例は登場する頻度こそ多くないものの、関数分野の土台をつくる大切な単元です。伴って変わる2つの数の関係性を見出す思考力は、中2の「1次関数」や中3の「2次関数」にもつながっていきます。

反比例を得意にしたい中学生におすすめの学習法を、4つ解説します。

反比例を得意にする勉強法

(1) グラフを正しくかけるようにする

反比例のグラフは、双曲線と漸近線を形どらなければなりません。慣れるまでは点を滑らかにつなぐのが難しく、カクカクしたグラフになりがちです。

しかし反比例のグラフは「滑らかな曲線であること」が重視されます。ただし、滑らかなグラフでもプロットした点を通っていなければ減点されます。

テストまでに曲線グラフを上手にかけるよう練習しておきましょう。

(2) 計算は丁寧に進める

反比例の式は「y=a/x」でした。分数の形をしているため、必然的に計算過程でも分数が登場します。

分数はそうでない式に比べて計算ミスが起きがちです。分数を整数の形にする方法や、左辺と右辺の合わせ方など、間違えないよう丁寧に進めましょう。

分数の計算方法に不安がある人は、小学校で学んだ分数の単元を復習してみてください。

またy=a/x は xy=aと変形すると、分数の計算を回避できます。計算ミスを減らす、おすすめテクニックです。

(3) 文字に置いた要素同士の関係をつかむ

反比例の問題を解く際は、次の点に注意しましょう。

・問題文中のどの要素を文字に置いたか

・文字に置いた要素同士の関係性はどのようか

関数は「伴って変わる数の関係性」を式にしたものです。つまり「伴って変わる数」と「関係性」が分かって、はじめて問題が解けます。

水槽の問題なら「水を入れてからの経過時間と、溜まった水量の関係」、速さと道のりの問題なら「出発からの経過時間と、進んだ距離」など、かならず伴って変わる数と関係性が存在します。

ここをあいまいにすると、解いている最中に「今、何をしているのか」迷子になりやすくなります。文字に置いた要素や関係性を余白にメモする、下線を引いておくなどわかりやすくする工夫をしながら、解き進めてみてください。

(4) 自力での対策が難しい場合は塾や家庭教師を利用する

反比例は概念の理解が難しい単元です。

「式にあてはめて計算するだけならできるが、文章問題になると解けない」と苦戦する中学生は、もしかするともっとも大切な概念理解ができていないかもしれません。「片方が増えるともう片方も増える」比例は直感的に理解しやすいのですが、「片方が増えるともう片方が減る」反比例は実感を伴った理解を得にくいのが原因です。

ただし反比例の概念は関数分野全体の理解にも影響を及ぼすため、しっかりと理解し定着させておくのが望ましいです。

もし自力での反比例学習が難しいと感じたら、塾や家庭教師などプロの力を借りましょう。反比例は講師によって着眼点や解き方が異なる分野で、相性が合うとまさに「目から鱗が落ちる」ほどの理解が得られます。

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まとめ

反比例は「一方が2倍、3倍…になると、もう一方が1/2、1/3…になる」関係を持つ関数です。比例の反対としてセットで学びますが、比例より反比例のほうが苦手意識をもちやすいため注意しましょう。

反比例をマスターするコツは、変化する2つの要素の関係を正しくつかむことです。幸いにも反比例の文章問題はバリエーションが多くありません。学校のワークに載っている問題を習得すれば、定期テストや高校入試にも十分対応できます。「反比例をやらなきゃ」と思ったこの機を逃さず、一気にマスターしてしまいましょう。

もし自分の力だけでは頓挫してしまいそうな場合は、遠慮なく塾や家庭教師の力を借りるのがおすすめです。

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この記事を書いた人

塾探しの窓口編集部

塾探しの窓口編集部

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