【中1数学】反比例の重要ポイントと解くコツをわかりやすく解説

反比例は「なんとなくわからない」とよく言われる単元です。授業中も先生の解説を聞き、表やグラフを書くので精いっぱい、とても理解まで追いつけなかった人も多いのではないでしょうか。

また比例に比べて授業時間が短く、その後も登場する気配がないため、反比例は関数分野のなかでも軽視されがちです。

ところが反比例は関数全体にかかわる「考え方」の理解に重要な役割を果たします。反比例がわからなかったために、中2や中3で苦労する中学生も少なくないのです。

この記事では中1で習う反比例を、「そもそも反比例とは？」という基本から丁寧に解説します。典型的な問題を使いながら、解き方・考え方もまとめました。

反比例をマスターし、中学関数分野を得意にする足がかりをつかむヒントにしてください。

「反比例」とは

反比例とは「ともなって変わる2つの数のうち、片方が2倍、3倍…となると、もう一方は1/2倍、1/3倍…となる関数」です。

小学校の復習も兼ねて、反比例の全体像を振り返ってみましょう。

(1) ＜復習＞小学校で学んだ比例・反比例

小学校の算数では、「２つの量の変わり方」の単元で比例について小学５年生で学び、比例・反比例としては小学校６年生で学習しました。

ともなって変わる2つの数x、yについて、ｘが2倍、3倍…になると、ｙも同じように２倍、３倍になるのが「比例」です。

上の表はxが2倍、3倍…になるにしたがってyも2倍、3倍…となっています。そのため「比例の関係にある」といえ、式はy=6xで表されます。

一方が増えると、もう一方も一定の割合で増えていくのが「比例」ですね。では反比例はどのように勉強したでしょうか？

反比例は片方が2倍、3倍…となると、もう一方は1/2倍、1/3倍…となります。表にすると、次のようになります。

表ではxが2倍、3倍…と増えていますが、yは1/2、1/3…と減少しています。このように片方が増えると、一定の割合でもう一方が減る関係にある関数を「反比例」といいます。

上の表の反比例は、y＝60/xと表されます。

反比例の式やグラフについては、次の章で詳しく学習します。ここでは「2つの数について、一方が2倍、3倍…となると、もう一方が1/2倍、1/3倍…と変わる関係を反比例という」を押さえておきましょう。

(2) 中学校で学ぶ反比例とは

中学校で学ぶ反比例も、基本の考え方は小学校と同様です。

ただし中学生らしく「負の数」が登場する点を押さえておきましょう。

「y＝－12//x」「y＝－5/x」といった式も扱います。表やグラフをつくる際も、負の数の存在を忘れないことが大切です。

反比例の基本を理解しよう

いよいよ、中学の反比例を具体的に学習していきます。中学の反比例で確実に押さえておきたいのは、反比例の式の計算とグラフの書き方です。

1つずつ、丁寧に考えていきましょう。

(1) 反比例の式

反比例の式は、次のように表わします。

比例定数とは、xとyの関係を表す定数（決まった値）です。比例でも登場しましたね。

y＝3xという比例の式では3が比例定数です。yは常にxの3倍の値をとることを意味します。

たとえば、次のような表について考えてみましょう。

xが増えるにしたがってyは減少しており、これは反比例です。

式は
　　y＝12/x
です。

ちなみにこの反比例の式は、変形すると
　　xy＝12
となりますね。

実際に問題を解く場面では、xy＝aとしたほうが考えやすいケースも多々あります。どちらでも使いこなせるようにしておきましょう。

(2) 反比例のグラフ

反比例のグラフをかく問題は、定期テストでもよく出されます。値を確実にとり、正しく書けるよう練習しましょう。

反比例のグラフは、次のような形になります。

双曲線とは、2つの定点からの距離の差が一定であるような点をつなげた線です。また漸近線とは限りなく近づくものの、決して交わったり接したりしない線のことです。

例題を使って、実際に反比例のグラフをかいてみましょう。

グラフをかく手順は、次のとおりです。

順に進めていきましょう。

まず「1. 反比例を表す式が成り立つようなx、yの組み合わせをつくる」ためには、式を表にすると簡単です。

y＝12/xのグラフを表にすると、次のようになります。

表はx、yがともに整数になる組み合わせだけを考えればOKです。整数でない値も存在してはいますが、グラフにプロットできないためです。

x、yの組み合わせが見つかったら、座標平面状にプロットしていきましょう。

点が取れたら、なめらかな曲線でつなぎます。

これで反比例のグラフがかけました。

(3) 変域

「変域」とは値が変化する範囲のことです。関数のグラフは基本的にどこまでも続いていきますが、変化する範囲を定めたいときに変域を利用します。

例題を使って変域の考え方を解説します。

まず、ざっくりとグラフの形をとります。y＝24/xは、a＞0なのでグラフは第1象限・第3象限に置かれます。

この形になることを押さえましょう。

xの変域は2≦x≦6なので、対応するyの値は第1象限にあるとわかります。第1象限にあるyの値は、xが最小のとき最大となり、xが最大のとき最小となります。

以上を踏まえて、xの変域2≦x≦6に対応するyの値を求めます。

y＝24/xにおいてx＝2のとき、
　　y＝24/2
　　y＝12

x＝6のとき、
　　y＝24/6
　　y＝4

つまりyの変域は、4≦y≦12となります。グラフに表すと、次の範囲です。

反比例の基本問題をマスターしよう

ここからは、反比例の基本的な典型問題を2種類解説します。反比例は比例に比べて見慣れないため、数値の関係をよく見て「反比例かどうか」判断できることが大切です。

(1) 反比例を判断する問題

テストでもよく出題される、反比例を判断する問題を解いてみましょう。

＜考え方＞

「yをxの式で表し」との指示に従い、まずyをxの式で表してみましょう。式がy＝a/xのかたちになっていれば反比例です。

1. お釣りは、1000円札から買った商品代金を引いた残りです。

従ってお釣りy円は、次のように表わせます。

　　y＝1000－x

これはy＝a/xではないため、反比例ではありません。

2. 道のりと速さを表す問題です。

 　　速さ×時間＝道のり

この公式を思い出しましょう。

問題文から、以下の情報が分かっています。

　　速さ                     時速xkm
　　時間                     y時間
　　道のり                  100km

この3つを式に表すと、

　　x×y＝100

y＝の形に変形して、

　　y＝100/x

これはy＝a/xのかたちになっていますね。
よって、反比例といえます。

(2) 反比例の式を求める問題

反比例の式を求める問題も練習しましょう。同じように例題を使って、考え方を解説します。

＜考え方＞

「yはxに反比例し」とあるため、求める式の形は

　　y＝a/x

です。

これを念頭に置き、与えられている値を代入しましょう。

x＝5、y＝8を代入すると、
　　8＝a/5
　　a＝40

比例定数a＝40と分かりましたね。
反比例の式に代入して答えを出します。

答え  y＝40/x

反比例の応用問題

いよいよ、反比例の学習も最終段階です。応用問題、つまり文章問題にチャレンジしましょう。反比例は該当する事象の数が多くはないため、比例ほど文章問題のバリエーションがありません。

反比例の文章問題のうち、典型的な3つのパターンを解説します。

(1) 水槽に水を入れる

水槽に水を入れる問題は、関数分野ではよく登場します。反比例になる問題を見てみましょう。

＜考え方＞

文章題では、はじめに与えられた状況（情報）を整理するのが鉄則です。

今回、数値が明確にわかっている情報は「水槽に毎分5リットルずつ水を入れると、15分でいっぱいになる」です。

ではこの水槽には、結局何リットルの水が入るのでしょうか？

　　満タンの量＝毎分5リットル×30分

つまり、水槽は150リットルだということもわかりますね。

以上の情報を使って、問題を解いていきましょう。

1. yをxの式で表すためには、以下の情報を使います。

　　水槽全体の水量                  150リットル
　　1分間に入れる水量           xリットル
　　満タンまでの時間              y分

つまり、

　　xy＝150
　　y＝150/x

これでyをxの式で表せました。確かに反比例の形をしています。

2. 以降は、1.で作ったy＝150/xを使って解いていきます。

2.の問題は「毎分10リットルずつ水を入れると、水槽がいっぱいになるまで何分かかるか」ですね。

y＝150/xの式において、yが表すのは「水槽が満タンになるまでの時間」です。xは「1分間に入れる水量」を示します。今回は毎分10リットルずつ水を入れるため、x=10ですね。

代入してみましょう。

　　y＝150/x
　　y＝150/10
　　y＝15

したがって15分で満タンになるとわかりました。

3.の問題は「10分でこの水槽をいっぱいにするには、毎分何リットルずつ水を入れればよいか」ですね。２と同様に考えれば解けますよ。

y＝150/xの式において、yが表すのは「水槽が満タンになるまでの時間」です。今回はこれが6分とわかっています。xは「1分間に入れる水量」で、こちらが今回は求める数値になります。

代入してみましょう。

　　y＝150/x
　　6＝150/x
　　x＝25

したがって毎分25リットルずつ入れればよいとわかりました。

(2) 速さと時間

比例につづき、反比例でも道のりや速さを題材にした問題が登場します。例題を見てみましょう。

＜考え方＞

1. 道のりや速さの問題では、まず次の公式を余白にメモしましょう。

　　道のり＝速さ×時間

今回、問題からわかっている情報は次のとおりです。

　　道のり                  1200m
　　速さ                     分速xm
　　時間                     y分  

この3つを、公式に当てはめます。

　　道のり＝速さ×時間

ですから、

　　1200＝x×y

問題文では「yをxの式で表す」と指示があります。式を変形して、

　　y＝1200/x

これで答えがでました。

2. 「学校に10分で着くためには、どのくらいの速さで学校に行けばよいか」は、1.で出た式を使います。

今回、求めたいのは「速さ 分速xm」の部分です。かかる時間 y分は10分と分かっています。y＝1200/xに、y＝10を代入すると、

　　10＝1200/x
　　x＝120

つまり分速120mで学校に行けばよいということがわかりました。

(3) 仕事の量

仕事の量に関する問題も見てみましょう。

まず「2人で進めると98日かかる」という情報から、必要な人手の延べ人数を求めます。

 　　2人×98日＝196

つまり、この仕事は延べ196人が必要だとわかりました。式にしてみましょう。

最終的に求めたいのは「人数」のため、人数をyとします。必要な日数をxと置きましょう。

先ほど出した仕事の総量より、

　　x（日）×y（人）＝196
　　y＝196/x

問題文より「仕事を7日で終わらせたい」のですから、x＝7を代入して、

　　y＝196/7
　　y＝28

答え  28人

(1) グラフを正しくかけるようにする

反比例のグラフは、双曲線と漸近線を形どらなければなりません。慣れるまでは点を滑らかにつなぐのが難しく、カクカクしたグラフになりがちです。

しかし反比例のグラフは「滑らかな曲線であること」が重視されます。ただし、滑らかなグラフでもプロットした点を通っていなければ減点されます。

テストまでに曲線グラフを上手にかけるよう練習しておきましょう。

(2) 計算は丁寧に進める

反比例の式は「y=a/x」でした。分数の形をしているため、必然的に計算過程でも分数が登場します。

分数はそうでない式に比べて計算ミスが起きがちです。分数を整数の形にする方法や、左辺と右辺の合わせ方など、間違えないよう丁寧に進めましょう。

分数の計算方法に不安がある人は、小学校で学んだ分数の単元を復習してみてください。

またy=a/x は xy＝aと変形すると、分数の計算を回避できます。計算ミスを減らす、おすすめテクニックです。

(3) 文字に置いた要素同士の関係をつかむ

反比例の問題を解く際は、次の点に注意しましょう。

・問題文中のどの要素を文字に置いたか

・文字に置いた要素同士の関係性はどのようか

関数は「伴って変わる数の関係性」を式にしたものです。つまり「伴って変わる数」と「関係性」が分かって、はじめて問題が解けます。

水槽の問題なら「水を入れてからの経過時間と、溜まった水量の関係」、速さと道のりの問題なら「出発からの経過時間と、進んだ距離」など、かならず伴って変わる数と関係性が存在します。

ここをあいまいにすると、解いている最中に「今、何をしているのか」迷子になりやすくなります。文字に置いた要素や関係性を余白にメモする、下線を引いておくなどわかりやすくする工夫をしながら、解き進めてみてください。

(4) 自力での対策が難しい場合は塾や家庭教師を利用する

反比例は概念の理解が難しい単元です。

「式にあてはめて計算するだけならできるが、文章問題になると解けない」と苦戦する中学生は、もしかするともっとも大切な概念理解ができていないかもしれません。「片方が増えるともう片方も増える」比例は直感的に理解しやすいのですが、「片方が増えるともう片方が減る」反比例は実感を伴った理解を得にくいのが原因です。

ただし反比例の概念は関数分野全体の理解にも影響を及ぼすため、しっかりと理解し定着させておくのが望ましいです。

もし自力での反比例学習が難しいと感じたら、塾や家庭教師などプロの力を借りましょう。反比例は講師によって着眼点や解き方が異なる分野で、相性が合うとまさに「目から鱗が落ちる」ほどの理解が得られます。

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中1生の数学対策におすすめの個別指導塾5選

反比例の全体像は、およそ理解できたでしょうか。しかし、定期テストの結果につなげるためには、「わかったつもり」を「本当に理解した」状態に、さらに「自分の力だけでできる」レベルに高めなければなりません。

考え方やアプローチが難しい反比例、そして関数の習得は、プロの指導を受けることが近道です。「つまり、どういうことか」と本質を丁寧に解説してくれる塾を選び、得点源に育てていきましょう。

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まとめ

反比例は「一方が2倍、3倍…になると、もう一方が1/2、1/3…になる」関係を持つ関数です。比例の反対としてセットで学びますが、比例より反比例のほうが苦手意識をもちやすいため注意しましょう。

反比例をマスターするコツは、変化する2つの要素の関係を正しくつかむことです。幸いにも反比例の文章問題はバリエーションが多くありません。学校のワークに載っている問題を習得すれば、定期テストや高校入試にも十分対応できます。「反比例をやらなきゃ」と思ったこの機を逃さず、一気にマスターしてしまいましょう。

もし自分の力だけでは頓挫してしまいそうな場合は、遠慮なく塾や家庭教師の力を借りるのがおすすめです。

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