【中2数学】1次関数を習得せよ！基本から入試レベルまで

「変化の割合＝xの増加量分のyの増加量」と暗記だけして、本番で解けないと困っていませんか？あるいは「点Pが嫌い」「水槽の問題はお手上げ」という中学生もいるでしょう。

中学生に数学の苦手分野を聞くと多くの生徒が「1次関数」と答えます。苦手とする人が多いにもかかわらず、定期テストや高校入試では頻出のため逃げるわけにはいきません。

この記事では1次関数を、考え方の基本の基本から丁寧に解説します。典型的な問題の解き方や、1次関数が得意になれる勉強のコツもまとめました。

まず「1次関数とはそもそも何なのか」から、一緒に考えていきましょう。記事を読み終わるころには、きっと「1次関数、勉強してみようかな」と思えるようになっているはずです。

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「1次関数」とは

1次関数の前に、関数とは何か確認しておきましょう。

関数とは「xとyという2つの実数があったとき、xの値が決まるとyの値も1つに決まる関係」を指します。xの値次第でyの値が決まる関係のことを「yはxの関数である」といいます。

中1で習った関数「正比例」「反比例」を思い出してみましょう。グラフを描く際、xの値に対応するyの値をとり、線で結んでいきましたね。この関係が、関数です。

中2で習う1次関数は、関数のうち「yを、xの1次式」で表せるものの総称です。xの1次式とは、xが1回だけ掛けられている式を指します。

1次関数の式は、以下のとおりです。

aを「傾き」「変化の割合」、bを「切片」と呼びますが、詳しくは次の章で解説します。

また実は、比例は1次関数の1種です。1次関数の式y=ax + bにおいてb＝0、つまり切片が原点である関数を、特別に「比例」と呼びます。

実は関数は、1次関数以外にもさまざまあります。中3では「2次関数」を習い、高校数学では3次関数が登場します。なかでも、中2で習う1次関数はさまざまな問題が作りやすく、入試でも頻出の単元です。1次関数の基本と、応用問題にあたる「1次関数の利用」までしっかりマスターしましょう。

1次関数の基本を理解しよう

続いて、1次関数 y=ax + bの基本的な事項を確認しましょう。1次関数を苦手とする中学生の中には、これから解説する基本が十分理解できていないケースもよく見られます。

「aとは何か」「bとは何か」など、自分の言葉で説明できる状態を目指しましょう。

(1) 切片「b」とは

切片bとは、1次関数y=ax + bのグラフがy軸と交わる点を指します。

y軸との交点、つまり「xが0」のときのyの値です。よって切片bを求めたい場合は、y=ax + bにx＝0を代入すればOKです。

(2) 変化の割合「a」とは

1次関数の理解でさらに重要なのが「a」です。aは「傾き」「変化の割合」と呼ばれます。

この2つは、1次関数においては同じものを指しています。ただし「傾き」は1次関数だけで使われる概念です。中3の2次関数では使いませんので、注意しましょう。

変化の割合は「xの増え方によって変化するyの値の割合」を示すため、次の式で表されます。

(3) 変域

変域はxとy、それぞれに設定されます。とくに「グラフを描く問題」「1次関数の利用の問題」でよく登場するため、しっかり理解しておきましょう。

たとえば速さや水量の増加などに関する問題は、xとyで設定される値が「正の数」をとります。「負の速さ」「負の水量」はありえないためです。このとき、xやyがとる値は整数であることを示すために、変域「x≧０」「y≧0」と書かれます。

これが変域です。

変域は問題によって設定される範囲が異なるため、注意深く問題文を読み正しくつかむようにしましょう。

1次関数をグラフで理解しよう

1次関数の始まりは、グラフを描くところから始まります。比例との違いにも注意しつつ、グラフを正しく書けるよう練習してみてください。

1次関数のグラフの書き方を解説します。

(1) 1次関数のグラフ

1次関数のグラフは右上がり、もしくは右下がりの直線になります。

切片b=0だと原点を通るグラフになり、比例になることは前述しました。

(2) 1次関数のグラフの書き方

1次関数のグラフはの書き方は、以下の手順で進めます。

切片はy=ax + bの式を見ればわかりますね。bの値をy軸上に置くだけです。もう1点を簡単にとるには、x軸との交点（y=0）を使うのがおすすめです。

例題を使って理解しましょう。

式より、切片bが6だとわかります。またx軸との交点、つまりy=0のときのxの値は、次のとおりです。

2x＋6＝0
2x＝－6
x＝－3

したがってx軸との交点は（－3,0） グラフは次のようになります。

まずはさまざまな1次関数のグラフを描き、慣れてください。

1次関数の基本問題をマスターしよう

基本のグラフが書けるようになったら、やや発展させた練習問題に進みましょう。定期テストや高校入試でかならずといって良いほど出る問題は、次の4種類です。

・変化の割合を求める問題
・yの増加量を求める問題
・グラフから式を求める問題
・与えられた値から式を求める問題

どれも1次関数を本質的に理解するのにぴったりの問題ばかりです。一つひとつ、解き方や考え方を丁寧に解説しますので、じっくり見てみてください。

(1) 変化の割合を求める問題

変化の割合を求める問題は、次のように出題されます。

この問題はxとy、それぞれの増加量が与えられています。そのため、変化の割合の式に代入すれば解けます。

＜解き方＞

問題文で与えられた「xの増加量が3、yの増加量が－12」を、変化の割合を表す式

　　変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量

に代入する。

　　変化の割合＝－12/3

したがって、変化の割合＝－4

(2) yの増加量を求める問題

yの増加量を求める問題は、次のように出されます。

これはxの変化が与えられ、対応するyの変化を求めさせる問題です。逆のパターン（yの変化が与えられ、対応するxの変化を求めさせる問題）もあります。

＜解き方＞

1次関数の式はy＝2x＋3なので、変化の割合a＝2だとわかります。

　　変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量

なので、今回求めたいyの増加量に合わせて式を変形すると、

　　yの増加量＝変化の割合×xの増加量

また問題より、xの増加量は7－1＝6なので、式にあてはめると

　　yの増加量=2×6

したがって、yの増加量＝12

(3) グラフから式を求める問題

グラフが与えられ、式に表すよう求める問題もあります。

まず、y軸との交点に注目します。y軸とグラフとの交点は「切片b」でしたね。

問題のグラフからb＝4とわかるため、式は次のようになります。

　　y＝ax＋4

次に知りたいのは変化の割合（傾き）aです。aは「ｙの増加量／ｘの増加量」で求められましたね。

x軸との交点から切片までの間に、xは2増えています。一方yは4増えています。したがって、

　　変化の割合a=4/2
　　a＝2

以上を1次関数の式に表しましょう。

答え  y＝2x＋4

(4) 与えられた値から式を求める問題

1次関数の基本問題には、与えられた値から式を求める問題もあります。例を見てみましょう。

このタイプの問題はそれぞれの値をy=ax + bに代入し、連立方程式として解いてaとbを求めます。

＜解き方＞

（2,－2）をy=ax + bに代入すると、

　　2a＋b＝－2          …①

（－1,7）をy=ax + bに代入すると、

　　－a＋b＝7            …②

①と②を連立方程式として解くと、ａ＝－3、b＝4

答え  y＝－3x＋4

1次関数の発展問題をマスターしよう

いわゆる応用問題にあたる「1次関数の利用」の前に、もう2つだけマスターしておきたい問題があります。x軸、y軸との交点の求め方と変域の求め方です。

順番に確認していきましょう。

(1) 式からx軸、y軸との交点を求める問題

x軸、y軸との交点は何かと使う頻度が高いポイントです。サクッと正確に求められるようにしておきましょう。

＜考え方＞

x軸との交点は「y＝0」のときのxの値を指します。

1次関数の式にy＝0を代入して、

　　1/3x＋2＝0
　　1/3x＝－2
　　x＝－6

またy軸との交点は「x＝0」のときのyの値でした。1次関数の式にx＝0を代入しても解けますが、y軸との交点＝切片bであることを思い出しましょう。

つまり1次関数の式に最初から切片bが示されているということです。

1次関数の式はy＝1/3x＋2、つまりy軸との交点は（0,2）

答え、x軸との交点（－6,0） y軸との交点（0,2）

(2) 変域を求める問題

基本的な練習問題は、この変域を求める問題で最後です。変域の考え方と求め方をまとめてチェックしておきましょう。

変域を求める問題は、xとyの変域の対応を正しく組み合わせることが大切です。「xがいくつのときにyが最大・最小をとるか」は、グラフの傾きをイメージするとつかみやすくなります。

＜考え方＞

まず、与えられたy=－3x＋2のグラフはどのような形になるかを考えましょう。

y=－3x＋2は傾きaがマイナスのため、右下がりの形状を取ります。

右下がりのグラフは「xの値が増加すると、yの値は減少」しますね。したがって、xが最小のときyは最大値をとり、xが最大のときyは最小となります。

この点を踏まえて変域－2≦x≦1を、1次関数の式y=－3x＋2に代入してみましょう。

x＝－2のときは、

　　y＝－3×（－2）+2
　　y＝8

x＝1のときは、

　　y＝－3×1+2
　　y＝－1

したがってyの変域は、－1≦ｙ≦8となります。

1次関数の利用（文章題）をマスターしよう

ここからは1次関数の最大の難所、文章題の考え方・解き方を解説します。

実は1次関数の文章題は、変化する2つの数があれば事象の数だけ作れます。私たちの身の回りにあるあらゆる要素が、1次関数の題材になるといっても過言ではありません。

問題作成のバリエーションが豊富で、受験生がこれまでに見たことがないような問題を作りやすいというのも、高校入試で1次関数が頻出する理由の1つです。

とはいえ、典型的な問題もあります。ここでは4つの典型的な1次関数の問題を取り上げ、アプローチ法を解説します。

＜考え方＞

1. 問題文において「ばねの伸びる長さは、つるしたおもりの重さに比例する」と書かれているため、これは1次関数の問題だと考えます。

（比例の問題だったとしても、比例は切片b=0の1次関数とみなせるため、1次関数の解き方で解けます。）

1次関数の式y=ax + bを思い浮かべ、表の値を代入していきましょう。

ちなみにaとbの2つの文字を求める必要があるため、連立方程式で解くのが基本です。

ただし今回の問題は「x＝0」のときのyが与えられている点に注目しましょう。x=0のときのyの値には、特別な名前が付いていました。覚えていますか？

そうです、「切片b」です。

つまり「x＝0」のときy＝9であるため、

　　切片b＝9

がわかります。

これで求める式はy=ax + 9となり、残る文字はａのみとなります。

y=ax + 9に、x＝2、y＝11を代入してみましょう。

　　a×2＋9＝11
　　2a＝2
　　a＝1

したがって傾きa＝1であるため、1次関数の式が求められました。

答え  y＝ｘ+9

2. 1で表の1次関数はy＝ｘ+9だとわかりました。

この式にx=9を代入すると、

　　y＝9＋9

答え  ばねの伸びは18cm

(2) 点Pと面積の問題

続いての問題は、四角形の辺上を点Pが移動する問題です。Pの位置によって形成される図形の形が変わるため、図を描くと解きやすいでしょう。

＜考え方＞

まず、何はともあれ指定された状況の図を描いてみましょう。問題文の図では点PはAB上を移動していますね。同じようにBCを移動している点Pを描いてみてください。

図はこのようになります。

さて、求めるべきは△APDの面積y㎠ですね。△APDは底辺AD=4cm、高さDC＝3cmのため、

　　y=１/2×4×3
　　y＝6

答え  y＝6

(3) 速さと距離の問題

苦手とする中学生が多くいるのが、1次関数を利用した速さの問題です。

＜考え方＞

1. 求めるのは「速さ」です。速さは、どのように表わされましたか？

　　速さ＝道のり/距離

ですね。

今回の問題では「駐輪場までの道のりは2700m」「かかった時間は15分」と明示されています。この2つの数値を、先ほどの速さの公式に当てはめましょう。

　　速さ＝2700/15

答え  180ｍ/分

2. 問題文より、

              y＝駐輪場から駅までの道のり

              x＝駐輪場から駅までかかった時間

とされています。

またグラフを見ると、1次関数であるとわかります。最終的に示す式の形はy=ax + bとなるため、与えられた数値からaとbを求めましょう。

駐輪場の座標（15,2700）と駅の座標（20,3000）それぞれをy=ax + bに代入します。

　　15a＋b＝2700     …①
　　20a＋b＝3000     …②

①②を連立方程式にして解きましょう。

②－①で

　　5a＝300
　　a＝60

a＝60をy=②に代入し、

　　20×60＋b＝3000
　　1200＋b＝3000
　　b＝1800

答え  y＝60x＋1800

(4) 水槽に水を入れる問題

水槽に水を入れる問題は、さまざまなパターンがあります。すべての水槽問題の基本となる考え方を習得しましょう。

＜考え方＞

まず、与えられている要素を整理しましょう。

・90リットルで満水
・はじめに20リットル入っている
・毎分8リットルずつ水が増える

またxとyはそれぞれ以下です。

・x 　　水を入れ始めてからの経過分数

・y　　水槽に溜まった水の量

さてx分後の水の量は「もともと入っていた20リットル＋x分間に増えた水の量」で表せます。「x分間に増えた水の量」とは、つまりyです。

たとえば1分後には8リットル×1分＝8リットルが増えます。

2分後なら8リットル×2分＝16リットル増えることになります。

つまり、x分後なら9×x分＝9xリットル増えるわけです。

y＝もともと入っていた20リットル＋x分間に増えた水の量ですから式にすると、

答え  y=9x＋20

(1) 式の意味、グラフがあらわす事象を理解しようとする

1次関数は、xとyとの異なる値の関係性を式に表したものです。つまり大切なのは「関係性」だという点を見逃してはいけません。

中学生はつい、目先の計算に真剣になるあまりに1次関数の本質を見落としているケースがあります。式やグラフが表している意味、要素の関係性をしっかり考えるようにしましょう。

同様に「変化の割合はxの増加量分のyの増加量」と呪文を暗記しても、問題は解けません。

「変化の割合とは何か」「なぜ『xの増加量分のyの増加量』で算出できるのか」といった根本的な理解を大切にしましょう。

(2) 典型パターンの問題を反復し、考え方を身につける

記事で紹介したように、1次関数にはいくつかの典型問題があります。「変域を求める問題」「速さの問題」などが代表例です。

典型問題は、あらゆる場面でよく出題されるからそう呼ばれるのです。典型問題を数多く練習し、解き方をマスターしてください。

良質な典型問題が豊富に載っているのは学校のワークです。学校で配布された中2ワークの「1次関数」を、最低3回繰り返してみましょう。

(3) 文章題は「変化する量」と「その関係性」を式にする

1次関数の利用と呼ばれる文章題が難しいのは、問題文の長さによって変化する量や関係性を見つけにくくなっているためです。文章題を解く際は不要な情報を極力そぎ落とし、「変化する量」と「その関係性」だけを抽出してみてください。

また自分がいま何を考えているのか、迷子になりやすい点にも注意します。xを求めているのかyを求めているのか、あるいは立式したいのか値をもとめたいのかなど、求めたい結果を意識しながら解き進めることを忘れないようにしましょう。

(4) 塾や家庭教師の力を借りる

1次関数を完成度高く習得したい場合、独学では難しいかもしれません。1次関数はそれほどに奥深く、難しい単元だからです。

もし自分の力で1次関数の学習を進めるのは難しいと感じたら、遠慮なく塾や家庭教師の力を借りましょう。本質をわかりやすく解説してくれるため、目の前のもやがスッと晴れる実感を得られるはずです。

また1次関数の苦手は、根本的に比例の理解不足や方程式の習熟度不足に起因する場合もあります。単元を超えての原因追及は、中学生には難しいかもしれません。塾や家庭教師を利用すると別の単元の習得度不足も見つけてもらえ、数学全体の実力底上げが期待できます。

まとめ

1次関数は中学数学でもっとも重要な単元の1つです。変化する数と関係性を見抜き式にするという数学的思考力を必要とする1次関数は、数学の実力を測る目的でよく出題されます。

大問として出されるケースも多いため、解ければ15点～20点の上乗せも不可能ではありません。

記事を参考に1次関数をしっかり理解し、典型問題の練習を通じて習得していきましょう。

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